Phương trình Pell có mỗi liên hệ với một số đối tượng toán học quan trọng khác

Lý thuyết số đại số

Đa thức Chebyshev

Demeyer (2007) đề cập về mối liên hệ giữa phương trình Pell và đa thức Chebyshev: Cụ thể, nếu Ti (x) và Ui (x) là đa thức Chebyshev loại I và đa thức Chebyshev loại II. Thì các đa thức thỏa mãn phương trình Pell trong vành đa số thực R[x], với n = x 2 − 1 {\displaystyle n=x^{2}-1} .

T i 2 − ( x 2 − 1 ) U i − 1 2 = 1. {\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1.\,}

Như vậy, có thể sử dụng các kĩ thuật giải phương trình Pell, để tìm công thức tổng quát và truy hồi của đa thức Chebyshev.

T i + U i − 1 x 2 − 1 = ( x + x 2 − 1 ) i . {\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,}

Ngược lại, thay x = x1 vào ta có:

T i ( x 1 ) + U i − 1 ( x 1 ) x 1 2 − 1 = ( x 1 + x 1 2 − 1 ) i . {\displaystyle T_{i}(x_{1})+U_{i-1}(x_{1}){\sqrt {x_{1}^{2}-1}}=(x_{1}+{\sqrt {x_{1}^{2}-1}})^{i}.\,}

với x 1 2 − 1 = y 1 d {\displaystyle {\sqrt {x_{1}^{2}-1}}=y_{1}{\sqrt {d}}} ,

T i ( x 1 ) + U i − 1 ( x 1 ) y 1 d = x i + y i d . {\displaystyle T_{i}(x_{1})+U_{i-1}(x_{1})y_{1}{\sqrt {d}}=x_{i}+y_{i}{\sqrt {d}}.\,}

Do đó, xi = Ti (x1) và yi = y1Ui − 1(x1) (Barbeau, chapter 3).

Phân số liên tục